Il fascino discreto della matematica

Michele Emmer

Come espressione della mente umana, la matematica riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi sono la logica e l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la generalità e l’individualità… Soltanto la reazione di queste forze antitetiche e la lotta per la loro sintesi costituiscono la vita, l’utilità e il valore supremo della scienza matematica.

Qualunque sviluppo della matematica ha senza dubbio le sue radici psicologiche in esigenze più o meno pratiche, ma, una volta iniziato sotto la pressione della loro necessità, esso inevitabilmente acquista valore in se stesso e trascende i limiti dell’utilità immediata.”

Così scrivevano nel 1941 due matematici, Richard Courant e Herbert Robbins. Implicito in queste parole la peculiare caratteristica della matematica di dimostrare (o dimostrare che non sono vere) le ipotesi che si sono formulate, utilizzando un metodo rigidamente logico-deduttivo che viene verificato nella sua correttezza dai membri della comunità matematica esperti nei diversi settori matematici. Come in qualsiasi altra attività umana possono capitare degli errori, delle sviste, ma il procedimento di verifica dei risultati, svolto da matematici esperti, è particolarmente affidabile. Si può affermare con ragionevole certezza che i risultati matematici ottenuti nel corso dei secoli, e le migliaia di teoremi che sono dimostrati giornalmente, sono corretti, affermano insomma la verità. Logica, ragionamento deduttivo, risultati validati, verità delle affermazioni. Sta in queste poche parole il suo carattere in qualche senso eversivo che sfida l’eternità. Il teorema di Euclide sulla infinità dei numeri primi (di cui tuttora non è noto un procedimento per poterli individuare tutti) è stato dimostrato tra il IV e il III secolo a. C., più di duemila anni fa. Utilizzando un procedimento geniale che viene chiamato ragionamento per assurdo in cui si nega quello che si vuole dimostrare, in questo caso che i numeri primi sono infiniti, per arrivare a una palese contraddizione, e quindi alla necessità di considerare l’ipotesi, i numeri primi sono infiniti, corretta.

Basandosi sul fatto che un’ affermazione può essere solo o vera o falsa. Risultato che continuerà a essere corretto sino a quando qualcuno leggerà gli Elementi di Euclide.

Sembrerebbe che il più grande esempio di argomenti del tutto astratti e fuori dal vivere comune siano quelli matematici. Lasciamo ai matematici il divertimento (beati loro!) di avere a che fare con questioni che solo loro comprendono. Ed ecco che uno dei motivi che ha spinto nel dopoguerra la Cina, il Giappone, la Corea del Sud, l’India in parte, ad investire nella ricerca di base in matematica, e insisto di base, non la mera ricerca applicata, è stata l’idea di ottenere con la matematica una solida conoscenza fondamentale su cui costruire le basi di uno sviluppo anche economico nel futuro non lontano. Perché le conoscenze diffuse di matematica, e certo non solo, contribuiscono allo sviluppo culturale ed economico di un paese. I fondi spesi nella ricerca, e in quella matematica in particolare, sono ben spesi. Certo sotto il controllo della comunità matematica che guarda ai risultati e ne verifica la correttezza e l’interesse. Non tutte le ricerche hanno la stessa valenza scientifica, ovviamente. Se si cerca nelle nuove tecnologie quale sia l’apporto della matematica, si scopre che è ben difficile trovare degli esempi, dalla medicina, alla aeronautica, dagli Ipad ai modelli matematici che oramai gestiscono la nostra vita quotidiana, al cinema, da cui è assente la matematica. Ogni grande società di produzione cinematografica ha matematici che si occupano di diversi settori, basti citare l’animazione computerizzata, senza tralasciare che in questi ultimi anni si moltiplicano i film sui matematici che hanno vinto anche premi Oscar. Octavia Spencer è stata il primo attore che ha vinto l’Oscar come attrice non protagonista impersonando un matematico in Hidden Figures, storia delle matematiche nere che lavoravano alla NASA negli anni sessanta.

Ci sono settori della matematica che durano da millenni, il teorema di Euclide si può a pieno titolo chiamare il primo risultato importante in teoria dei numeri, uno dei settori della matematica più attivi negli ultimi anni. Anche legato ai problemi di criptazione e codificazione dei messaggi, dei PIN che usiamo tutti i giorni. Di teoria dei numeri si è occupato un famoso matematico, André Weil: “La matematica non è nient’altro che arte, una specie di scultura in un materiale estremamente duro e resistente, come certi porfidi usati a volte, credo, dagli scultori” scriveva André alla sorella Simone. Simone Weil, scrittrice e filosofa, chiedeva spesso al fratello di spiegarle di quale matematica si occupasse nelle sue ricerche.

Il reale è ciò che si impone. La dimostrazione ci si impone più che la sensazione, ma comporta una parte di convenzione. È necessario cogliere il non convenzionale della matematica.” E aggiungeva Simone: “Matematica: universo astratto in cui io dipendo unicamente da me. Regno della giustizia, poiché ogni buona volontà vi trova la sua ricompensa.”

Parole come creatività, libertà, disciplina, non convenzionale, forza estetica, logica. Parole applicate alla matematica. Al lavoro dei matematici, ai quali non bisogna mai chiedere, come forse si è capito, a che cosa serva la loro ricerca. Ma serve eccome, anche per elevare le capacità culturali di un paese, anche se questo è difficile da far comprendere. Si richiede uno sforzo intellettuale non indifferente, un’applicazione, un impegno che possono essere molto faticosi. Ma la parola intellettuale non è oggi molto di moda, come se ad esempio qualcuno decidesse di fare il matematico per acquisire potere, ricchezza e fama. Ed a buon titolo un bravo matematico si può definire un vero intellettuale.

Come si diventa matematici, come s’impara l’arte di affrontare problemi che mai nessuno ha trattato, inventandosi magari la teoria adatta per trovare le soluzioni dei problemi, come nasce la creatività di un grande matematico? Si sono sentite tante parole intorno al matematico italiano Alessio Figalli che ha vinto il primo agosto 2018 la medaglia Fields, massimo riconoscimento per i matematici. Premio molto più complicato da vincere del premio Nobel, dato che bisogna avere meno di quaranta anni, il premio viene assegnato ogni quattro anni. Non si vince una grande somma di danaro. Il premio Nobel non c’è per i matematici. Tra di noi matematici circola la leggenda che il signor Alfred Nobel, inventore della dinamite, fosse innamorato di una bella signora che preferì invece le attenzioni di un famoso matematico norvegese. La medaglia Fields si deve a un matematico canadese, John Charles Fields e la prima fu assegnata nel 1936. Se ne possono assegnare al massimo quattro ma anche solo una o due o tre.

Chi decide chi vince? Un gruppo di matematici di tutto il mondo che la comunità mondiale considera i più bravi e importanti nei diversi settori in cui è divisa la matematica, e sono molti i settori. Come si diventa un grande matematico? Dimostrando teoremi di matematica che sono considerati di grande importanza. Chi decide quali sono questi grandi problemi? I grandi matematici insieme con la comunità.

La matematica, va ribadito, ha una caratteristica che la rende unica: la dimostrazione. In matematica non si bluffa, quello che si afferma va dimostrato e verificato dagli esperti del settore. Non si fanno referendum, non si fanno inchieste e sondaggi, conta solo il valore del risultato ottenuto e del giudizio dei grandi matematici. Non si estraggono a sorte i matematici vincitori della medaglia Fields, sono giudicati e scelti dai migliori matematici mondiali. Una grande lezione etica nel mondo della libertà, della creatività e della disciplina rigorosamente logico deduttiva di cui vanno verificati tutti i passaggi.

Come si diventa un grande matematico? La formazione, l’ambiente, la propria storia, tutto contribuisce, insieme alla propria creatività e genialità, qualità rare, una cosa è fondamentale: si deve riuscire a creare una scuola che diventi una fabbrica dei futuri matematici. E come si inventa una fabbrica del genere? Facendo le scelte giuste nel riuscire a concentrare in una università, in un luogo di ricerca, un ambiente culturalmente vivo, produttivamente efficiente (che non vuol dire affatto pensare alle applicazioni), i matematici più creativi, capaci di coagulare intorno a sé i migliori matematici del futuro. Non c’è dubbio che la Scuola Normale di Pisa è stata ed è una grande scuola, in particolare nel settore delle equazioni differenziali, e del calcolo delle variazioni, di cui sono un esempio tanto amato le lamine e le bolle di sapone. Un nome su tutti, quello di Ennio De Giorgi, il più importante matematico italiano della seconda metà del novecento ed uno dei più importanti al mondo, e con lui Enrico Giusti, Mario Miranda e Enrico Bombieri, Bombieri che ha vinto nel 1974 l’altra medaglia Fields italiana, lavorando sul Calcolo delle Variazioni e la Teoria dei Numeri. Da quella scuola sono usciti centinaia di matematici di alto livello non solo italiani ma di tutto il mondo. Questa seconda medaglia Fields è un grande riconoscimento a chi nel corso degli anni ha tramandato le conoscenze, le tecniche, le idee dell’Analisi Matematica ai futuri ricercatori. Ricercatori che in molti casi e non solo da Pisa ma da altre università dove l’analisi matematica e le equazioni differenziali sono studiate se ne sono andati all’estero. Nel sito dell’Unione Matematica Italiana c’è l’elenco aggiornato di quanti matematici italiani ci sono in giro per il mondo. Centinaia. Le nostre scuole di ricerca li formano, ne fanno dei bravi e creativi ricercatori e poi per arrivare a poter continuare le proprie ricerche, per avere i mezzi per creare un gruppo nuovo di ricerca, per avere i fondi sufficienti, in tanti, i migliori a volte, se ne vanno all’estero. Sono anni che queste cose vengono dette, ma sta a cuore a qualcuno questa emigrazione intellettuale che certo non riguarda solo la matematica? Il matematico italiano che ha vinto la medaglia quest’anno non ha mai lavorato in Italia, ma negli Usa e al Politecnico di Zurigo, dove si trova ora. La matematica è l’unica e vera lingua internazionale su questa terra e i suoi strumenti sono la logica applicata alla creatività per arrivare a dimostrare quello che si vuole provare. Sarebbe impietoso citare frasi di coloro in Italia che hanno e hanno avuto responsabilità politiche senza voler generalizzare ovviamente. Questi sono problemi seri che riguardano il futuro dell’Italia come paese e comunità.

E la velocità di decisione, la capacità di poter disporre di fondi, di ridurre al minimo la burocrazia per fare ricerca, è questo il principale motivo della emigrazione, andare in ambienti altamente internazionali, e non dover perdere troppo tempo in problemi burocratici. Lo capiremo? Non credo, lo dimostra la politica in gran parte fallimentare della gestione burocratica dei fondi di ricerca, della macchinosità, della mancanza di posti decenti per i giovani. Che se ne vanno, anche se le cose sono migliorate negli ultimi tempi. Eppure le grandi scuole le abbiamo. Siamo un modello in molti settori della matematica. Parole al vento.

Un’altra balla è comparsa sui giornali. La incredibile carriera del matematico che ha vinto la medaglia Fields, ha studiato in un liceo classico! Già, perché secondo costoro bisogna studiare in un liceo scientifico per diventare matematico. No, non è così, la scuola, che in Italia maggiormente prepara all’apertura mentale, ai diversi interessi culturali, all’essere un ricercatore di nuovi mondi astratti è il liceo classico con il suo latino e il suo greco e la filosofia ecc ecc. Tanti miei colleghi hanno studiato in licei classici, ma certo non basta la mia esperienza. Consiglio di leggere il capitolo su come il liceo classico sia il migliore liceo per aprire a tante possibilità compreso il diventare un matematico come nel caso di Figalli. È il libro La scuola giusta. In difesa del liceo classico scritto da Federico Condello.

Di che cosa si è occupato il matematico italiano? Tra le altre cose di Calcolo delle Variazioni, di principi di ottimizzazione, di equazioni alle derivate parziali. Chi è interessato trova in rete anche nel sito della medaglia Fields tutti i dettagli delle sue ricerche, potete anche visitare il sito al Politecnico di Zurigo. Solo un cenno a che cosa è il Calcolo delle Variazioni. Una legge che sembra sia rispettata dalla natura (siamo noi ovviamente a pensarlo) è che la natura tenda a trovare la migliore sistemazione possibile, quella che ha meno perdita di energie, insomma di minimizzare gli sforzi. Si vogliono trovare dei minimi delle funzioni che descrivono un fenomeno matematico o fisico. Ma molte volte le equazioni differenziali che descrivono il problema non ammettono soluzioni esplicite. Allora si può cercare di generalizzare il problema ambientandolo in uno spazio del tutto astratto a più dimensioni in cui si considerano degli enti, i funzionali che sono la generalizzazione, grossolanamente, delle funzioni. In quello spazio astratto quei funzionali si possono studiare e si può cercare di trovarne il minimo effettuando delle variazioni dei funzionali, alla ricerca di quello che spende la minima energia. Se si fa oscillare una lamina di sapone e la si rilascia, tenderà a diventare piatta, minima energia perché minima aerea, superfici minime. Se poi sulla lamina si soffia dell’aria, si formerà una bolla di sapone, minima superfice esterna, la sfera, con l’assegnato volume di aria, ovvero la bolla di sapone è una superficie con curvatura media costante per assegnato volume. De Giorgi, utilizzando anche alcune idee di Renato Caccioppoli, introdusse negli anni sessanta la teoria dei perimetri per studiare questi problemi. E la storia non si è più fermata e continuerà grazie anche ad Alessio Figalli.

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